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しかし、その数字の何がそんなに特別なのでしょうか?なぜ彼は他の人たちと違ってしまうのでしょうか？円周率 (3.141592…) という数字が最も完璧な幾何学的な物体である球体を表すのと同じように、1.618033… は美しさの数字です。 15世紀の修道士ルカ・パチョーリは、おそらく新しい知識は教会の信念に適応させなければならないという考えに影響を受けて、それを神聖な比率と呼び、次のように示しました。「それは聖三位一体と一致しています。父、子、聖霊という 3 人の人物の間では同じ実体があり、同じように 3 つの項の間には常に同じ比率が見出され、それ以上またはそれ以下になることはありません。数学者よりも錬金術師やオカルティストに典型的なこの難解なフレーズの背後に隠されているのは、 レオナルド・ダ・ヴィンチによって黄金比の名前の洗礼を受けたと考えられているその数字です。数世紀後、アメリカの数学者マーク・バーは、作品の中でそれを使用した彫刻家フィディアスに敬意を表して、それにギリシャ文字の fi を割り当てました。

無理数の驚くべき美しさ

黄金比は無理数、つまり 2 つの整数の商として表現できない数のセットに属します。たとえば、2 の平方根は非合理的です。この発見はピタゴラス派を非常に動揺させたので、彼らはそれを世界から隠しました。私たちの場合、次の簡単な手順に従えば、電卓を使って黄金比を計算できます。まず、5 の平方根を計算します。次に、結果に 1 を加え、合計を 2 で割ります。コンピューターのプログラミング方法を知っていれば、2000 年に 3 時間未満の計算で計算された小数点以下の最大数の記録を破ることができます。 、最初の 15 億は 10 進数で見つかりました。

数学的に言えば、黄金比は、それに 1 を加算すると 2 乗した場合と同じ結果が得られるものとして定義できます。したがって、4 が黄金数である場合、その 2 乗を計算するために、結果が 16 になる 4 かける 4 の演算を行う必要はなく、単純に 1 を加算するだけで十分です。そして実際には、黄金数は 2 つあります。 、1 つはポジティブ (1.618033…)、もう 1 つはネガティブ (-1.618033…) ですが、すべての栄光を手にしたのは最初のものです。

1.618033を命名した人文主義者…

ここまでは、私たちにとっては単なる数秘術のように見えるかもしれません。それはあたかも、仕事がほとんどなく、自由時間がたくさんある人が、わざわざ数字との興味深い関係を探し始めたかのようです。しかし、本当に不思議なことは、植物の成長、松ぼっくり、茎上の葉の分布、または殻の形成において、この奇妙な数が見られることです。 IDカード、クレジットカード、名刺の大部分、そしてほぼすべてのタバコの箱にも使用されています。あるいはパルテノン神殿でも。あるいは、調和のとれた身体とは何かという古典的な例として、レオナルド・ダ・ヴィンチのウィトルウィウス的人体図があります。

レオナルドは、彼に最も影響を与えた人文主義者のレオン・バティスタ・アルベルティや彫刻家アントニオ・フィラレテの足跡をたどり、解剖学と建築は関連していると信じていました。 1480 年代、ミラノ公と宮廷建築家の説得を試みていたとき、彼はこの関係を掘り下げ、1487 年の有名な図面で表現しました。これは明らかに建築家マルクス ウィトルウィウス ポッリオの記述に基づいています。

解剖学的完璧さは黄金の完璧さ

その中で、ポリオは次のように述べています。「人体の中心部分はおへそです。男性が仰向けに寝て、腕と足を伸ばし、いくつかの尺度がおへその中心にあるとします。手と足はその中心から描かれた円周に接し、正方形の図形に内接することもできます。」正方形の一辺（人間の身長）を円周の半径（おへそから指先までの距離）で割ると黄金比が得られます。したがって、読者がそれが美しく完璧であるかどうかを知りたい場合は、定規を手に取るだけで済みます。

レオナルドは少しずつ、解剖学と建築だけでなく、音楽の調和構造や自然そのものと関連するガイドラインの探求に夢中になっていきました。樹冠の円周を枝の長さに関連付けようとする試みと同様に、周囲の世界の比率を探求することは熱心でしたが無駄でした。しかし、それは間違った考えではありませんでした。自然を見れば、さまざまな状況で黄金比を見つけることができるからです。しかし、まず私たちは過去を振り返って、ウサギとその繁殖率に対してやや暗い情熱を持っていた 13 世紀のイタリアの数学者に注目する必要があります。

ウサギの穴の中で最も美しい数字

1202 年、レオナルド フィボナッチは、ウサギが理想的な条件下でどれくらいの速さで地球上に広がるだろうかと疑問に思いました。たとえば、一組のカップルがいて、両方のメンバーが生後 1 か月後に子供を作る準備ができており、妊娠 1 か月後に新しいカップルを出産すると言われているとします。 1年後には何組のカップルがいるでしょうか？最初の月の終わりに、元のカップルは子孫を残す準備が整いますが、まだカップルは 1 つだけです。 2 か月目の終わりには、オリジナルと彼女の長女カップルが誕生します。 3年目の終わりには、フィールドには最初のカップル、すでに出産の準備ができている最初のカップル、そして次女カップルが誕生します。 4 か月目の終わりには、元のカップルとその 3 番目の娘カップル、最初のカップルとその最初の娘カップル、そしてすでに子孫を残す準備ができている次女カップルが誕生します。つまり、ウサギのペアの連続は、1、1、2、3、5 です。読者は、この連続の背後に隠されたパターンを推測できますか?少し長くすると、より簡単になります: 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233… 実際には、いわゆるフィボナッチ数列、とも呼ばれます。フィボナッチ数は、前の 2 つの値を加算して次の値を取得することによって取得されます。さて、この一連の数字は黄金比とどのような関係があるのでしょうか?次の実験を行ってください。電卓を使って、任意の値を直前の値で割ります。シーケンスが進むにつれて、商は黄金比にどんどん近づきます。

数学的に言えば、これは、フィボナッチ数をその直前の数で割ることによって作成される一連の数値が黄金比になる傾向がある、またはその限界があることを意味します。つまり、この無限の数の連続は、無限大で黄金数で終わります。

ドローンの歴史は数学的モデルに従っている

フィボナッチウサギの問題は、それが理想的であるということです。自然界で見られるこの黄金の連続のより現実的な例はあるでしょうか?はい、たとえばハニカムドローンの家系図ではそうです。これは女王バチの無精卵から生まれ、母親はいますが父親はいません。それどころか、女王（卵を産むことができる唯一の女王）も働きバチも、オスが受精した卵から生まれます。したがって、彼らには父親と母親がいます。これを念頭に置くと、ドローンの家系図は次のようになります。母親が 1 人、祖父母が 2 人 (男性と女性)、曾祖父母が 3 人 (祖母の家族から 2 人と祖父の家族から 1 人)、曾祖父母が 5 人います。 , 曾祖父母8人 …ドローン家系図はフィボナッチ数列！それだけではありません。 1966 年、カリフォルニア大学昆虫学研究博物館のダグ ヤネガは、群落内のミツバチのメスとオスの関係が黄金比に近いことを発見しました。

オウムガイの殻の対数螺旋

数値を平方に変換してみましょう。任意のサイズの 2 つの等しいものを並べて置き、その辺を単位として扱います。その上に、辺が前のものの 2 倍であるものをもう 1 つ描きましょう。右側に、トリプルを横にしてもう 1 つ追加しましょう。以下は 5 に対応するもので、以下同様です。つまり、新しい正方形のそれぞれの側面には、前の 2 つの正方形の合計が表示されます。レポートの冒頭にある巻き貝の写真のように、各正方形の内側に円周の 4 分の 1 を描くと (最初の正方形から始めて)、まさにオウムガイの殻が示す対数螺旋が得られます。

次に、鉛筆を取り、中心から外側に向かう線を描きます。この線が殻を切る 2 つの点を見てください。ただし、その点の間で螺旋が完全に回転することが唯一の条件です。最も外側のものが内側よりも中心から 1.618 倍離れていることがわかります。これは、貝殻の成長因子が黄金比であることを意味します。

フィボナッチ数は、ヒマワリの種や松ぼっくりで数えられる左右の螺旋の数にも見られます。花の花びらの数（アイリスでは 3 枚、キンポウゲでは 5 または 8 枚、ヒナギクやヒマワリは通常 13、21、34、55、または 85 枚など）と、らせん状の花の数です。カリフラワーとブロッコリー。実際、それらのそれぞれはそれ自体小さなカリフラワーです。その小さな花から出ている両方向の螺旋を数えたら、何番目になるでしょうか?バナナやリンゴの中からフィボナッチ数を探すこともできます。茎の周りの葉もこの順序に従います。

可能な限り最高の注文システム

なぜフィボナッチ数列にこのような自然の味わいがあるのでしょうか?植物の葉、花びら、種子が一定の角度に従って配置されるのは、植物が成長しても最適な梱包システムであるためです。茎に 1 回転ごとに黄金の数の葉を置くと、他の葉を隠すことなくすべての葉が最大量の光を受け取るように最適なパッケージが得られ、花の場合は受粉昆虫を誘引するのに最適な露出が得られます。 。フィボナッチ数は、黄金比に最も近い近似値です。これらすべてを考慮すると、パルテノン神殿が黄金の長方形、つまり長さと高さの比が黄金数を与える長方形で構成されることは驚くべきことではありません。クレジットカードでも同じことが起こります。支出制限のないビザよりも素晴らしいものはあるでしょうか?

神聖な比率の建築

これらの線の下にあるアテネのパルテノン神殿は、ギリシャ建築の美しさの好例であり、黄金の長方形の中に収めることができます。一部の数学者は、右側のクフ王の大ピラミッドに黄金比があると主張しています。したがって、ピラミッドのいずれかの面の底面から頂点までの距離をピラミッドの高さで割ると、1.6 が得られます。これはもしかして何か意図的なものなのでしょうか？そう考える人もいますが、実際のところ、それを考える根拠はありません。現存する最古の数学著作の 1 つであるリンド パピルス (紀元前 1650 年) には、ピラミッドの建設に関するいくつかの問題が解決されていますが、黄金比については言及されていません。

フィボナッチ、ウサギ人間

ピサのレオナルドは、フィボナッチ（ボナッチの息子フィリウス・ボナッチから）というニックネームで最もよく知られています。イタリア北部に生まれましたが、教育は北アフリカで受けました。父親がピサ共和国の商人の代表だったため、若い頃は地中海を旅して過ごしました。

彼はヨーロッパに 10 進数体系を最初に導入した人の 1 人です。 1202 年に彼は、Liber abacci (計算の本) を出版し、この新しいシステムで足し算、引き算、割り算、掛け算を行う方法を説明しました。今日、彼の有名な後継者が現れるのはここでした。興味深いのは、この問題が彼の算術への反省の結果としてではなく、読者が十進法の使い方を学べるように提示された問題として提示されたことです。